< 1 >
سلسلة غراندي
لا يوجد حل لسلسلة غراندي اللانهائية
1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ··· = ?
كيف يمكن أن يحدث هذا؟
مثال 1
المشتقة الأولى للظل العكسي هي
ومشتقها يعطي
لذلك نكتب المعادلة
ويتبع ذلك
وإذا لم نهتم بالتفاصيل، فسنجد
.gif){kind=small}
من الأفضل أن نتحقق من ذلك بعناية. لنفترض أن x = 0، فسنحصل على
وهو بالطبع غير صحيح. الآن نأخذ x = 1، فنحصل على
وهو أيضًا غير صحيح. إذا عوضنا x = 0 في المعادلة الأصلية، نجد
وهو صحيح. لقد نسينا التفاصيل، وبدلاً من 1 + 1 – 1 + 1 – 1 ··· كتبنا 0 فقط، على الرغم من أن هذا غير محدد. وهذا ما تسبب في المشكلة. كفحص أخير، نضع x = 1 في المعادلة الأصلية
وهذا غير صحيح. يبدو أننا ارتكبنا خطأً منذ البداية. وهذا هو الحال، لأن متسلسلة التانجنت العكسي صالحة فقط لـ |x| < 1.
التاريخكتب عالم الرياضيات الإيطالي غويدو غراندي عن هذه السلسلة في عام 1703. |